Math101 高等数学

Table of contents

1. 第一章 函数与极限
   1. 第一节 映射与函数
   2. 第二节 数列的极限
   3. 第三节 函数的极限
   4. 第四节 无穷小与无穷大
   5. 第五节 极限运算法则
   6. 第六节 极限存在准则两个重要极限
   7. 第七节 无穷小的比较
   8. 第八节 函数的连续性与间断点
   9. 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
   10. 第十节 闭区间上连续函数的性质
2. 总习题
3. 第二章 导数与微分
   1. 第一节 导数概念
   2. 第二节 函数的求导法则
   3. 第三节 高阶导数
   4. 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
   5. 第五节 函数的微分
4. 总习题
5. 第三章 微分中值定理与导数的应用
   1. 第一节 微分中值定理
   2. 第二节 洛必达法则
   3. 第三节 泰勒公式
   4. 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
   5. 第五节 函数的极值与最大值最小值
   6. 第六节 函数图形的描绘
   7. 第七节 曲率
   8. 第八节 方程的近似解
6. 总习题三
7. 第四章 不定积分
   1. 第一节 不定积分的概念与性质
   2. 第二节 换元积分法
   3. 第三节 分部积分法
   4. 第四节 有理函数的积分
   5. 第五节 积分表的使用
8. 总习题四
9. 第五章 定积分
   1. 第一节 定积分的概念与性质
   2. 第二节 微积分基本公式
   3. 第三节 定积分的换元法和分部积分法
   4. 第四节 反常积分
   5. 第五节 反常积分的审敛法
10. 总习题五
11. 第六章 定积分的应用
    1. 第一节 定积分的元素法
    2. 第二节 定积分在几何学上的应用
    3. 第三节 定积分在物理学上的应用
12. 总习题六
13. 第七章 微分方程
    1. 第一节 微分方程的基本概念
    2. 第二节 可分离变量的微分方程
    3. 第三节 齐次方程
    4. 第四节 一阶线性微分方程
    5. 第五节 可降阶的高阶微分方程
    6. 第六节 高阶线性微分方程
    7. 第七节 常系数齐次线性微分方程
    8. 第八节 常系数非齐次线性微分方程
    9. 第九节 欧拉方程
    10. 第十节 常系数线性微分方程组解法举例
14. 总习题七
15. 附录
    1. 附录I 二阶和三阶行列式简介
    2. 附录II 基本初等函数的图形
    3. 附录III 几种常用的曲线
16. 第八章 向量代数与空间解析几何
    1. 第一节 向量及其线性运算
    2. 第二节 数量积向量积混合积
    3. 第三节 平面及其方程
    4. 第四节 空间直线及其方程
    5. 第五节 曲面及其方程
    6. 第六节 空间曲线及其方程
    7. 总习题八
17. 第九章 多元函数微分法及其应用
    1. 第一节 多元函数的基本概念
    2. 第二节 偏导数
    3. 第三节 全微分
    4. 第四节 多元复合函数的求导法则
    5. 第五节 隐函数的求导公式
    6. 第六节 多元函数微分学的几何应用
    7. 第七节 方向导数与梯度
    8. 第八节 多元函数的极值及其求法
    9. 第九节 二元函数的泰勒公式
    10. 第十节 最小二乘法
    11. 总习题九
18. 第十章 重积分
    1. 第一节 二重积分的概念与性质
    2. 第二节 二重积分的计算法
    3. 第三节 三重积分
    4. 第四节 重积分的应用
    5. 第五节 含参变量的积分
    6. 总习题十
19. 第十一章 曲线积分与曲面积分
    1. 第一节 对弧长的曲线积分
    2. 第二节 对坐标的曲线积分
    3. 第三节 格林公式及其应用
    4. 第四节 对面积的曲面积分
    5. 第五节 对坐标的曲面积分
    6. 第六节 高斯公式 通量与散度
    7. 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
    8. 总习题十一
20. 第十二章 无穷级数
    1. 第一节 常数项级数的概念和性质
    2. 第二节 常数项级数的审敛法
    3. 第三节 幂级数
    4. 第四节 函数展开成幂级数
    5. 第五节 函数的幂级数展开式的应用
    6. 第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
    7. 第七节 傅里叶级数
    8. 第八节 一般周期函数的傅里叶级数
    9. 总习题十二
    10. 习题答案与提示

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第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

• 映射 (p.1)
• 函数 (p.3)
• 习题1-1 (p.16)

第二节 数列的极限

• 数列极限的定义 (p.18)
• 收敛数列的性质 (p.23)
• 习题1-2 (p.26)

第三节 函数的极限

• 函数极限的定义 (p.27)
• 函数极限的性质 (p.32)
• 习题1-3 (p.33)

第四节 无穷小与无穷大

• 无穷小 (p.34)
• 无穷大 (p.35)
• 习题1-4 (p.37)

第五节 极限运算法则

• 习题1-5 (p.38)

第六节 极限存在准则两个重要极限

• 习题1-6 (p.45)

第七节 无穷小的比较

• 习题1-7 (p.52)

第八节 函数的连续性与间断点

• 函数的连续性 (p.56)
• 函数的间断点 (p.58)
• 习题1-8 (p.61)

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

• 连续函数的和、差、积、商的连续性 (p.62)
• 反函数与复合函数的连续性 (p.62)
• 初等函数的连续性 (p.64)
• 习题1-9 (p.65)

第十节 闭区间上连续函数的性质

• 有界性与最大值最小值定理 (p.66)
• 零点定理与介值定理 (p.68)
• 一致连续性 (p.69)
• 习题1-10 (p.70)

总习题

• 总习题 (p.70)

第二章 导数与微分

第一节 导数概念

• 引例 (p.73)
• 导数的定义 (p.75)
• 导数的几何意义 (p.80)
• 函数可导性与连续性的关系 (p.82)
• 习题2-1 (p.83)

第二节 函数的求导法则

• 函数的和、差、积、商的求导法则 (p.84)

• 反函数的求导法则 (p.87)

• 复合函数的求导法则 (p.89)
• 基本求导法则与导数公式 (p.92)
• 习题2-2 (p.94)

第三节 高阶导数

• 高阶导数 (p.96)
• 习题2-3 (p.100)

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

• 隐函数的导数 (p.101)
• 由参数方程所确定的函数的导数 (p.104)
• 相关变化率 (p.108)
• 习题2-4 (p.108)

第五节 函数的微分

• 微分的定义 (p.110)
• 微分的几何意义 (p.113)
• 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 (p.113)
• 微分在近似计算中的应用 (p.116)
• 习题2-5 (p.120)

总习题

• 总习题 (p.122)

第三章 微分中值定理与导数的应用

第一节 微分中值定理

• 罗尔定理 (p.125)
• 拉格朗日中值定理 (p.126)
• 柯西中值定理 (p.129)
• 习题3-1 (p.132)

第二节 洛必达法则

• 洛必达法则 (p.132)
• 习题3-2 (p.137)

第三节 泰勒公式

• 泰勒公式 (p.137)
• 习题3-3 (p.143)

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

• 函数单调性的判定法 (p.144)
• 曲线的凹凸性与拐点 (p.147)
• 习题3-4 (p.150)

第五节 函数的极值与最大值最小值

• 函数的极值及其求法 (p.152)
• 最大值最小值问题 (p.156)
• 习题3-5 (p.161)

第六节 函数图形的描绘

• 函数图形的描绘 (p.163)
• 习题3-6 (p.167)

第七节 曲率

• 弧微分 (p.168)
• 曲率及其计算公式 (p.169)
• 曲率圆与曲率半径 (p.173)
• 曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 (p.174)
• 习题3-7 (p.176)

第八节 方程的近似解

• 二分法 (p.177)
• 切线法 (p.178)
• 割线法 (p.180)
• 习题3-8 (p.181)

总习题三

• 总习题三 (p.181)

第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质

• 原函数与不定积分的概念 (p.184)
• 基本积分表 (p.188)
• 不定积分的性质 (p.189)
• 习题4-1 (p.192)

第二节 换元积分法

• 第一类换元法 (p.194)
• 第二类换元法 (p.200)
• 习题4-2 (p.207)

第三节 分部积分法

• 分部积分法 (p.208)
• 习题4-3 (p.212)

第四节 有理函数的积分

• 有理函数的积分 (p.213)
• 可化为有理函数的积分举例 (p.216)
• 习题4-4 (p.218)

第五节 积分表的使用

• 积分表的使用 (p.219)
• 习题4-5 (p.221)

总习题四

• 总习题四 (p.222)

第五章 定积分

第一节 定积分的概念与性质

• 定积分问题举例 (p.224)
• 定积分的定义 (p.226)
• 定积分的近似计算 (p.229)
• 定积分的性质 (p.232)
• 习题5-1 (p.236)

第二节 微积分基本公式

• 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 (p.237)
• 积分上限的函数及其导数 (p.238)
• 牛顿-莱布尼茨公式 (p.240)
• 习题5-2 (p.244)

第三节 定积分的换元法和分部积分法

• 定积分的换元法 (p.246)
• 定积分的分部积分法 (p.252)
• 习题5-3 (p.254)

第四节 反常积分

• 无穷限的反常积分 (p.256)
• 无界函数的反常积分 (p.259)
• 习题5-4 (p.262)

第五节 反常积分的审敛法

• 无穷限反常积分的审敛法 (p.262)
• 无界函数的反常积分的审敛法 (p.266)
• 习题5-5 (p.270)

总习题五

• 总习题五 (p.270)

第六章 定积分的应用

第一节 定积分的元素法

• 定积分的元素法 (p.274)

第二节 定积分在几何学上的应用

• 平面图形的面积 (p.276)
• 体积 (p.280)
• 平面曲线的弧长 (p.284)
• 习题6-2 (p.286)

第三节 定积分在物理学上的应用

• 变力沿直线所作的功 (p.289)
• 水压力 (p.291)
• 引力 (p.292)
• 习题6-3 (p.293)

总习题六

• 总习题六 (p.294)

第七章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念

• 微分方程的基本概念 (p.297)
• 习题7-1 (p.301)

第二节 可分离变量的微分方程

• 可分离变量的微分方程 (p.302)
• 习题7-2 (p.308)

第三节 齐次方程

• 齐次方程 (p.308)
• 可化为齐次的方程 (p.312)
• 习题7-3 (p.314)

第四节 一阶线性微分方程

• 线性方程 (p.314)
• 伯努利方程 (p.319)
• 习题7-4 (p.320)

第五节 可降阶的高阶微分方程

• y()=f(x)型的微分方程 (p.321)
• y”=f(x,y’)型的微分方程 (p.323)
• y”=f(y,y’)型的微分方程 (p.326)
• 习题7-5 (p.328)

第六节 高阶线性微分方程

• 二阶线性微分方程举例 (p.329)
• 线性微分方程的解的结构 (p.331)
• 常数变易法 (p.334)
• 习题7-6 (p.337)

第七节 常系数齐次线性微分方程

• 常系数齐次线性微分方程 (p.338)
• 习题7-7 (p.346)

第八节 常系数非齐次线性微分方程

• f(x)=e*P_(x)型 (p.347)
• f(x)=e^*[P(x)coswx+Q,(x)sinwx]型 (p.350)
• 习题7-8 (p.354)

第九节 欧拉方程

• 欧拉方程 (p.355)
• 习题7-9 (p.356)

第十节 常系数线性微分方程组解法举例

• 常系数线性微分方程组解法举例 (p.357)
• 习题7-10 (p.359)

总习题七

• 总习题七 (p.360)

附录

附录I 二阶和三阶行列式简介

• 二阶和三阶行列式简介 (p.363)

附录II 基本初等函数的图形

• 基本初等函数的图形 (p.368)

附录III 几种常用的曲线

• 几种常用的曲线 (p.371)

第八章 向量代数与空间解析几何

第一节 向量及其线性运算

• 向量的概念 (p.1)
• 向量的线性运算 (p.2)
• 空间直角坐标系 (p.6)
• 利用坐标作向量的线性运算 (p.8)
• 向量的模、方向角、投影 (p.9)
• 习题8-1 (p.13)

第二节 数量积向量积混合积

• 两向量的数量积 (p.14)
• 两向量的向量积 (p.17)
• 向量的混合积 (p.20)
• 习题8-2 (p.23)

第三节 平面及其方程

• 曲面方程与空间曲线方程的概念 (p.23)
• 平面的点法式方程 (p.24)
• 平面的一般方程 (p.26)
• 两平面的夹角 (p.27)
• 习题8-3 (p.29)

第四节 空间直线及其方程

• 空间直线的一般方程 (p.30)
• 空间直线的对称式方程与参数方程 (p.30)
• 两直线的夹角 (p.32)
• 直线与平面的夹角 (p.33)
• 杂例 (p.33)
• 习题8-4 (p.36)

第五节 曲面及其方程

• 曲面研究的基本问题 (p.37)
• 旋转曲面 (p.38)
• 柱面 (p.40)
• 二次曲面 (p.41)
• 习题8-5 (p.44)

第六节 空间曲线及其方程

• 空间曲线的一般方程 (p.45)
• 空间曲线的参数方程 (p.46)
• 空间曲线在坐标面上的投影 (p.49)
• 习题8-6 (p.51)

总习题八

• 总习题八 (p.51)

第九章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

• 平面点集n维空间 (p.54)
• 多元函数的概念 (p.57)
• 多元函数的极限 (p.60)
• 多元函数的连续性 (p.62)
• 习题9-1 (p.64)

第二节 偏导数

• 偏导数的定义及其计算法 (p.65)
• 高阶偏导数 (p.69)
• 习题9-2 (p.71)

第三节 全微分

• 全微分的定义 (p.72)
• 全微分在近似计算中的应用 (p.75)
• 习题9-3 (p.77)

第四节 多元复合函数的求导法则

• 多元复合函数的求导法则 (p.78)
• 习题9-4 (p.84)

第五节 隐函数的求导公式

• 一个方程的情形 (p.86)
• 方程组的情形 (p.88)
• 习题9-5 (p.91)

第六节 多元函数微分学的几何应用

• 一元向量值函数及其导数 (p.92)
• 空间曲线的切线与法平面 (p.96)
• 曲面的切平面与法线 (p.100)
• 习题9-6 (p.102)

第七节 方向导数与梯度

• 方向导数 (p.103)
• 梯度 (p.106)
• 习题9-7 (p.111)

第八节 多元函数的极值及其求法

• 多元函数的极值及最大值与最小值 (p.111)
• 条件极值拉格朗日乘数法 (p.116)
• 习题9-8 (p.121)

第九节 二元函数的泰勒公式

• 二元函数的泰勒公式 (p.122)
• 极值充分条件的证明 (p.125)
• 习题9-9 (p.127)

第十节 最小二乘法

• 最小二乘法 (p.127)
• 习题9-10 (p.132)

总习题九

• 总习题九 (p.132)

第十章 重积分

第一节 二重积分的概念与性质

• 二重积分的概念 (p.135)
• 二重积分的性质 (p.138)
• 习题10-1 (p.139)

第二节 二重积分的计算法

• 利用直角坐标计算二重积分 (p.140)
• 利用极坐标计算二重积分 (p.147)
• 二重积分的换元法 (p.152)
• 习题10-2 (p.156)

第三节 三重积分

• 三重积分的概念 (p.160)
• 三重积分的计算 (p.161)
• 习题10-3 (p.166)

第四节 重积分的应用

• 曲面的面积 (p.168)
• 质心 (p.172)
• 转动惯量 (p.174)
• 引力 (p.176)
• 习题10-4 (p.177)

第五节 含参变量的积分

• 含参变量的积分 (p.179)
• 习题10-5 (p.184)

总习题十

• 总习题十 (p.185)

第十一章 曲线积分与曲面积分

第一节 对弧长的曲线积分

• 对弧长的曲线积分的概念与性质 (p.188)
• 对弧长的曲线积分的计算法 (p.190)
• 习题11-1 (p.193)

第二节 对坐标的曲线积分

• 对坐标的曲线积分的概念与性质 (p.194)
• 对坐标的曲线积分的计算法 (p.197)
• 两类曲线积分之间的联系 (p.202)
• 习题11-2 (p.203)

第三节 格林公式及其应用

• 格林公式 (p.204)
• 平面上曲线积分与路径无关的条件 (p.208)
• 二元函数的全微分求积 (p.211)
• 曲线积分的基本定理 (p.215)
• 习题11-3 (p.216)

第四节 对面积的曲面积分

• 对面积的曲面积分的概念与性质 (p.218)
• 对面积的曲面积分的计算法 (p.219)
• 习题11-4 (p.222)

第五节 对坐标的曲面积分

• 对坐标的曲面积分的概念与性质 (p.223)
• 对坐标的曲面积分的计算法 (p.227)
• 两类曲面积分之间的联系 (p.229)
• 习题11-5 (p.231)

第六节 高斯公式 通量与散度

• 高斯公式 (p.232)
• 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 (p.236)
• 通量与散度 (p.237)
• 习题11-6 (p.239)

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

• 斯托克斯公式 (p.240)
• 空间曲线积分与路径无关的条件 (p.244)
• 环流量与旋度 (p.246)
• 习题11-7 (p.248)

总习题十一

• 总习题十一 (p.249)

第十二章 无穷级数

第一节 常数项级数的概念和性质

• 常数项级数的概念 (p.251)
• 收敛级数的基本性质 (p.254)
• 柯西审敛原理 (p.257)
• 习题12-1 (p.258)

第二节 常数项级数的审敛法

• 正项级数及其审敛法 (p.259)
• 交错级数及其审敛法 (p.265)
• 绝对收敛与条件收敛 (p.266)
• 绝对收敛级数的性质 (p.268)
• 习题12-2 (p.271)

第三节 幂级数

• 函数项级数的概念 (p.272)
• 幂级数及其收敛性 (p.273)
• 幂级数的运算 (p.278)
• 习题12-3 (p.281)

第四节 函数展开成幂级数

• 函数展开成幂级数 (p.282)
• 习题12-4 (p.289)

第五节 函数的幂级数展开式的应用

• 近似计算 (p.290)
• 微分方程的幂级数解法 (p.294)
• 欧拉公式 (p.297)
• 习题12-5 (p.298)

第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

• 函数项级数的一致收敛性 (p.299)
• 一致收敛级数的基本性质 (p.303)
• 习题12-6 (p.307)

第七节 傅里叶级数

• 三角级数三角函数系的正交性 (p.307)
• 函数展开成傅里叶级数 (p.310)
• 正弦级数和余弦级数 (p.315)
• 习题12-7 (p.320)

第八节 一般周期函数的傅里叶级数

• 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 (p.321)
• 傅里叶级数的复数形式 (p.325)
• 习题12-8 (p.327)

总习题十二

• 总习题十二 (p.327)

习题答案与提示

• 习题答案与提示 (p.330)